Фамилия Бегметюк — редкий пример украинской фамилии, образованной от тюркского имени. Её основа — мужское имя Бегмет (варианты Бигмет, Бикмет), которое восходит к тюркскому «бек» (господин, князь) и персидскому «Мухаммед» (восхваляемый). В буквальном смысле имя означает «князь Мухаммед» или «господин Мухаммед» — типичный для татарской и башкирской традиции композит, где к исламскому имени добавляли титул. На Руси такие имена давали детям в семьях, где смешались славянские и тюркские корни, или же это было прозвище человека, служившего у татарского мурзы.

Суффикс -юк — характерный украинский патронимический показатель, распространённый на западе и в центре Украины (сравните: Дем’янюк, Романюк, Ковалюк). Он указывает на потомка: Бегметюк — «сын Бегмета». Такая модель говорит о том, что фамилия закрепилась не в великорусской, а в украинской среде, вероятно, на землях бывшего Речи Посполитой (Волынь, Подолье, Киевщина). Интересно, что само имя Бегмет в украинском контексте почти не встречается — фамилия сохранила его как реликт.

По сословной принадлежности первые носители могли быть казаками или крестьянами, но не дворянами: тюркские имена в украинской среде обычно получали простые люди. Встречается фамилия и у белорусов, но там она могла писаться как Бегметюк или Бегметюк. В России фамилия редкая, её носители — выходцы из западных областей Украины или потомки переселенцев XIX века.

Коротко: Бегметюк — украинская фамилия с тюркской основой, означающая «потомок Бегмета». Не имеет отношения к русским фамилиям на -ов или -ин, что подчёркивает её региональное и историческое своеобразие.