Фамилия Бегменко — характерный пример украинской фамилии, образованной по распространённой в XVII–XVIII веках модели. Суффикс -енко указывает на происхождение от отца или главы семьи: буквально «сын Бегмана» или «потомок Бегмана». Такие фамилии массово закреплялись в среде казачества и крестьянства Левобережной и Слободской Украины, особенно на территории бывшей Гетманщины (современные Черниговская, Полтавская, Сумская области).

Основа фамилии — прозвище Бегман. Вряд ли оно напрямую связано с глаголом «бежать» или «беглый». Вероятнее, что перед нами тюркское заимствование. В тюркских языках «бек» (или «бег») означает «господин», «князь», а «ман» — суффикс, образующий имена. В османском и крымскотатарском бытовало имя Бегман (или Бекман) — составное из «бек» + «ман» (полный, цельный). В русских и украинских землях это имя превратилось в прозвище, которое давали либо выходцу из тюркской среды, либо человеку, напоминавшему «бека» — важному, властному или суровому.

Есть и более прозаичная версия: в некоторых южнорусских говорах «бегма» — форма глагола «бежать» (например, «пуститься бегма»). Но она менее убедительна, так как прозвища от глаголов в повелительном наклонении («Беги», «Стой») для украинских фамилий нехарактерны, а суффикс -енко требует имени или прозвища в мужском роде, а не глагольной формы.

Таким образом, носитель фамилии Бегменко — потомок человека по прозвищу Бегман, которое, скорее всего, имело тюркские корни и указывало на статус или происхождение. Фамилия встречается в центральных и восточных областях Украины, а также среди потомков украинских переселенцев на Кубани и в Сибири.