Фамилия Бегтина — женская форма, а её основа — мужская фамилия Бегтин, которая образовалась по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от прозвища или имени с помощью суффикса -ин. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Бегтин — это «сын Бегты» или «человек из рода Бегты». Ключ к происхождению — в основе «Бегт-», которая на первый взгляд кажется неочевидной.

Наиболее вероятное объяснение: прозвище Бегта связано с глаголом «бегать». В русских говорах слово «бегта» или «беготня» означало суетливого, непоседливого человека, того, кто постоянно в движении, не сидит на месте. Такое прозвище могли дать энергичному, быстрому или тревожному человеку. В пользу этой версии говорит и то, что фамилии от глаголов движения встречаются часто: Бегунов, Беглов, Бегаев — все они из того же гнезда. Бегтина стоит в этом ряду, но с менее привычным суффиксом -т-, который в прозвищах встречается реже, чем, скажем, -ун- или -л-.

Менее вероятно, но не исключено, что основа восходит к диалектному слову «бегта» в значении «беглец» или «бродяга». В некоторых северных и сибирских говорах так могли называть человека, который ушёл от общины или скрывался. Однако прямых словарных подтверждений этому значению для слова «бегта» нет, поэтому версия с «суетливым» остаётся основной.

Географически фамилия Бегтина редкая и не имеет ярко выраженного очага распространения. В дореволюционных метрических книгах она изредка встречается в центральных губерниях России, но никогда не входила в число массовых. Это типичная «одиночная» фамилия, возникшая в конкретной местности от конкретного прозвища и не размножившаяся по стране.

Что касается социального статуса первых носителей, то фамилии на -ин чаще всего принадлежали крестьянам и мещанам. Дворянские роды с таким окончанием обычно имели более прозрачную этимологию (например, от названий городов или животных). Бегтина, скорее всего, происходит из крестьянской или посадской среды, где прозвища давали по поведению или внешним чертам.

Итог: предки человека с фамилией Бегтина, скорее всего, жили в центральной России, и родоначальник получил прозвище Бегта за свою подвижность, суетливость или, реже, за склонность к побегам. Фамилия сохранила память о характере человека, жившего несколько столетий назад.