Фамилия Белашкина — женская форма, а её основа — мужская фамилия Белашкин. В центре разбора, как часто бывает с фамилиями на -ин, стоит прозвище или имя, от которого образована форма на -а, перешедшая в -ин.

Корень здесь — «Белаш-». Это не просто «белый» в чистом виде. «Белаш» — старинное русское прозвище, которое могло означать человека со светлыми волосами или кожей («беляш» в диалектах — бледный, белобрысый). Но есть и более конкретная версия: «белаш» — это также название хлебного изделия (ср. «беляш»), и прозвище могли дать пекарю или торговцу пирожками. Второй вариант правдоподобен, если фамилия бытовала в регионах, где это слово было в ходу, — например, в южнорусских говорах.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — «Белашкин», то есть сын или потомок Белаша. Форма на -а (Белашка) — это уменьшительное или обиходное производное от Белаш. В XV–XVII веках такие прозвища на -а были типичны для крестьян и посадских людей: Белашко, Белашка, а затем и фамилия Белашкин.

Географически фамилия не массовая. Встречается в центральных областях России и на Урале, где закрепилась в среде бывших государственных крестьян. Сословно — почти наверняка не дворянская: фамилии на -ин с прозвищной основой чаще всего носили крестьяне и мещане, пока в XIX веке фамилия не стала наследственной.

Спорных версий тут немного. Иногда пытаются связать с тюркским «белаш» («несчастье»), но это натяжка: в русской ономастике прозвище от цвета или ремесла встречается в сотни раз чаще. Словарь Б. Унбегауна относит такие фамилии к типичным «прозвищным» образованиям с суффиксом -ин, где основа — краткая форма имени или прозвища.

Коротко: предки Белашкиных — скорее всего, люди, которых в деревне звали Белаш (либо за внешность, либо за занятие), а их дети и внуки стали Белашкиными. Фамилия не претендует на древность, но за ней стоит живая бытовая история русского села.