Фамилия Белбдягин — редкий случай, когда в основе лежит не очевидное «белый», а сложное составное прозвище, которое исказилось до неузнаваемости. Чтобы понять её происхождение, нужно отбросить привычку искать корень «бел-» и присмотреться к звучанию: «Белбдягин» скорее всего восходит к тюркскому или арабо-тюркскому слову «белбед» или «бильбед» — так в некоторых тюркских языках называли перепела. Птица была известна своим голосом, и прозвище «Белбедяга» (с русским суффиксом -яг-, который часто давал прозвищам оттенок чего-то крупного или характерного) могли дать человеку с тонким, звонким голосом или, наоборот, с каким-то недостатком речи, который напоминал птичий крик.

Суффикс -ин в фамилии типичен для русского Севера и некоторых центральных областей: он указывает на принадлежность «чей?» — сын Белбедяги. Форма на -ин, а не на -ов, встречается реже, и это дополнительный маркер того, что фамилия не массовая, а локальная. В документах XVII–XVIII веков на территории бывшего Казанского ханства, где жило много тюркоязычных народов, встречаются прозвища, образованные от названий птиц и животных, — Белбедяга могло быть одним из них, но в ходе переписей его записали на слух, с искажением.

Менее вероятная, но не исключённая версия связывает фамилию с диалектным словом «белбедя» — так в некоторых говорах называли неуклюжего, неповоротливого человека (возможно, от «белбес» — бестолковый). Однако эта гипотеза слабее: она не объясняет суффикс -яг- и не имеет широкой диалектной базы.

География фамилии Белбдягин сегодня — это единичные носители, в основном в Поволжье и на Урале. Это не фамилия дворянского рода (в родословных книгах она не значится), а скорее крестьянская или мещанская, возникшая в среде, где русские и тюркские языки тесно переплетались. Если ваши предки носили эту фамилию, они, вероятно, жили на границе культур, и прозвище им дали за голос или поведение, а не за цвет одежды.