Фамилия Берсункаев — редкий случай в русском ономастиконе, и её разговор начинается не с корня, а с суффикса. Формант -каев указывает на тюркское происхождение: в фамилиях народов Кавказа, Поволжья и Средней Азии этот суффикс означает «сын такого-то». Если бы фамилия была русской по модели, она звучала бы как Берсунков или Берсунов. Но -каев выдаёт иную языковую традицию, скорее всего кумыкскую, ногайскую или чеченскую, где фамилии часто строятся по принципу «имя отца + родовой показатель».

Основа фамилии — Берсунка. Это личное имя или прозвище, которое само по себе составное. Первая часть, «бер», в тюркских языках означает «дай» или «дающий» (сравните с именем Бердибек — «дал бек»). Вторая часть, «сунка», может восходить к тюркскому «сунгу» — «копьё», «пика» или к слову «сункар» — «сокол». Тогда Берсунка — это «дающий копьё» или «сокол-даритель». В именах кочевых народов такие конструкции не редкость: они могли быть пожелательными (пусть ребёнок будет как сокол) или описывать занятие отца (оружейник, копейщик).

География фамилии узкая. Берсункаевы встречаются в основном среди кумыков Дагестана и чеченцев-аккинцев, есть отдельные носители в Ставропольском крае и Казахстане. В метрических книгах XIX века фамилия не фиксируется, что говорит о её позднем закреплении — скорее всего, в советское время, когда всем дали паспорта и записали фамилию по отцу. До этого человека звали просто Берсунка или Берсунка-улы — «сын Берсунки».

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает уточнить значение. Есть фамилия Берсунов (у осетин и кабардинцев), где основа, вероятно, та же, но без суффикса -ка. В чеченском языке есть имя Берсан (вариант — Берс), означающее «волк». Если Берсунка — это «маленький волк» или «волчонок», то фамилия уходит корнями в тотемные прозвища. Но это менее вероятно: суффикс -унка в тюркских языках чаще уменьшительно-ласкательный, а не зоологический.

Достоверно одно: фамилия Берсункаев не древняя, не дворянская и не связана с известными историческими родами. Её носители — потомки людей из горных или степных аулов, чьё прозвище или имя отца в советское время стало фамилией. Встретить её можно разве что в списках сельских советов Дагестана или в архивах военкоматов. Если вы её носите — скорее всего, ваши предки говорили на одном из тюркских языков и жили на Северном Кавказе.