Фамилия Бержная — редкий случай, когда ударение на последнем слоге принципиально меняет разбор. Если бы фамилия писалась через «о» (Берёжная), всё было бы прозрачно: от прилагательного «берёжный» — бережливый, заботливый, осторожный. Но «Бержная» с ударным «а» на конце указывает на другую модель образования.

Скорее всего, перед нами не русская, а украинская или южнорусская фамилия с характерным суффиксом -н(а). В украинском языке прилагательные женского рода в именительном падеже часто оканчиваются на -а: «бережна» (бережливая, заботливая). Фамилия могла закрепиться в форме краткого прилагательного или прозвища, которое потом перешло в разряд фамилий без добавления родовых суффиксов -ов/-ев или -ин. Такие «голые» основы встречаются на западе и юге России, а также в Беларуси и Украине: Бержная, Трегуб, Кривой.

Основа «бер-» восходит к древнерусскому «беречи» — беречь, хранить. В прозвище Берёжа или Берёжный могли назвать человека запасливого, аккуратного в хозяйстве, не склонного к риску. Сравните с фамилией Бережной — она гораздо распространённее и встречается от Кубани до Сибири. Бержная же — её редкий фонетический вариант, где «ё» перешло в «е» под влиянием акающих говоров или украинского произношения.

Географически фамилия тяготеет к югу: по данным открытых телефонных справочников, носители Бержной живут в Краснодарском крае, Ростовской области, в меньшей степени — в Центральной России. Суффикс -н(а) без патронимического окончания указывает, что фамилия могла оформиться не через отчество, а через прозвище матери или жены — в некоторых сёлах женщину называли Бержная (та самая, бережливая), и это имя закрепилось за детьми как фамилия.

Если отбросить версию про украинскую модель, остаётся ещё одна: опечатка или сознательное упрощение при записи в паспортном столе. В XIX веке крестьянам часто записывали фамилии на слух, и «Берёжная» могла превратиться в «Бержная» без буквы «ё». Но тогда логичнее было бы ожидать форму Берёжнов или Берёжнин, а не усечённую основу. Поэтому первая версия — украинская или южнорусская модель с кратким прилагательным — выглядит убедительнее.