Фамилия Бешенковская — женская форма, образованная от мужской фамилии Бешенковский. Такая модель типична для польской, украинской и белорусской ономастики, где суффикс -ский/-цкий указывал на принадлежность к месту или роду. В русской традиции фамилии на -ский тоже встречались, но чаще у дворянства и духовенства, тогда как у крестьян преобладали фамилии на -ов/-ев. Бешенковская — скорее всего, фамилия шляхетского или мещанского происхождения, хотя со временем она могла распространиться и среди других сословий.

Корень «Бешенк-» вызывает вопросы. Самое прямое объяснение — от прилагательного «бешеный», то есть неистовый, буйный, одержимый. В старину так могли прозвать человека с крутым нравом или, реже, больного бешенством. Но есть и другая версия: основа могла произойти от названия населённого пункта вроде Бешенки, Бешенково или Бешенковичи. Такие топонимы действительно существуют: например, посёлок Бешенковичи в Витебской области Беларуси. Если предки происходили оттуда, фамилия означала «выходец из Бешенкович» — типичный случай для фамилий на -ский.

Форма на -ская — женская, и в быту её часто воспринимали как фамилию замужней женщины или дочери. В документах XIX — начала XX века женщину могли записать как «Бешенковская» по мужу, даже если её девичья фамилия была другой. Поэтому современная носительница фамилии Бешенковская может обнаружить, что её предки по мужской линии носили вариант Бешенковский — и, возможно, были связаны с землёй или службой в западных губерниях Российской империи.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Бешенов, Бешенцев, Бешеный) показывает, что прозвищная версия более распространена в центральной России, а топонимическая — на западе. Для фамилии Бешенковская, с её суффиксом -ский, вторая версия выглядит убедительнее: такие фамилии редко образовывали от прозвищ напрямую, чаще — от названий мест. Однако окончательного ответа нет, и обе гипотезы имеют право на существование.