Фамилия Бешига — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив свою исходную форму. В русской ономастике фамилии на -ига обычно указывают на прозвищное происхождение, часто с оттенком иронии или характеристики внешности. Основа «беш-» в русских говорах связана с прилагательным «бешеный» — не в клиническом смысле, а в значении «вспыльчивый, горячий, необузданный». То есть Бешига — это тот, кого прозвали «бешеным» за характер. Суффикс -ига в таких прозвищах (сравните: Шумига, Воршига, Кричига) придаёт слову оттенок просторечия и даже насмешки: так могли назвать человека с крутым нравом, не умеющего сдерживать эмоции.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и южнорусским областям, особенно к территориям бывшего Великого княжества Литовского, где прозвищные фамилии на -ига встречаются чаще, чем на северо-востоке. Встречается она и у украинцев, и у белорусов, где «бешига» может быть вариантом слова «бішига» — того же корня. В польском языке есть аналогичное прозвище «Beszega», что подтверждает западнославянский след. Не исключено, что предки носителей фамилии были либо переселенцами из Речи Посполитой, либо жителями южнорусских земель, где такие прозвища бытовали в среде казачества и крестьянства.

Вторая версия, менее вероятная, связывает фамилию с диалектным словом «бешига» в значении «бедняга, горемыка» — от «беда». Но эта гипотеза слабая: ударение в таком слове падало бы на второй слог (беши́га), а в фамилии оно, как правило, на первый (Бе́шига). Кроме того, семантика «бешеный» гораздо более распространена в прозвищах, чем «бедный».

Сословно фамилия неэлитная: суффикс -ига нехарактерен для дворянских родов. Скорее всего, Бешиги — потомки крестьян, мещан или казаков, получившие фамилию по личной характеристике предка. Встречаемость фамилии сегодня крайне низкая, что говорит о её локальном происхождении — возможно, из одного села или волости, где прозвище закрепилось за целым родом.