Фамилия Бецига — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, но происхождение при этом остаётся неочевидным. С первого взгляда бросается в глаза нехарактерный для русских фамилий суффикс -ига. В русском языке такой суффикс встречается в единичных фамилиях, чаще образованных от прозвищ (Кривонога, Босонога, но там другая модель). В случае Бецига суффикс -ига — это, скорее всего, искажённое окончание, принесённое из другого языка, или часть застывшей основы.

Самая вероятная версия выводит фамилию из украинского или белорусского прозвища. В этих языках слово «бец» или «бецик» могло означать нечто маленькое, незначительное или относиться к детской речи (ср. укр. «бец» — удар, шлепок, но в прозвищах чаще — уменьшительное от имени). Если добавить к основе -иг-, то получим Бецига — человек, которого так прозвали за небольшой рост, юркость или за привычку «бецикать» (издавать характерные звуки). Впрочем, это лишь реконструкция: письменных фиксаций такого прозвища в исторических словарях нет.

Вторая версия — иноязычная, причём не славянская. Фонетика фамилии допускает происхождение из немецкого или еврейского (идиш) корня. Немецкое «Betzig» или «Bätzig» — это вариант фамилии, образованной от личного имени Бето (Beto) или от топонима Бетциг (Betzig) в Восточной Пруссии. Немцы-переселенцы нередко попадали в Российскую империю, и их фамилии адаптировались: Betzig превращалось в Бециг, а на русской почве получило окончание -а, типичное для украинских и белорусских фамилий (ср. Шульга, Мазепа). Так Бецига могла появиться в юго-западных губерниях.

Третья, менее вероятная версия — отчество от крестильного имени. В святцах имени Беца нет, но в народной форме могли сократить Венедикт (Беня, Бенцик) или Варфоломей. Конечное -ига в таком случае — это трансформированный суффикс принадлежности, но примеров такой эволюции почти нет.

Географически фамилия Бецига встречается крайне редко. Основные очаги — западные регионы Украины (Волынь, Подолье) и юг Беларуси. В России фамилия единична, чаще всего у потомков переселенцев. Сословная принадлежность не прослеживается: носители могли быть как крестьянами, так и мещанами. Единственное, что можно сказать с уверенностью: перед нами фамилия недворянская, скорее всего, поздняя (XVII–XIX века), и её носители не имели отношения к аристократии.

Резюмируя: Бецига — фамилия с тёмной этимологией, скорее всего, украинско-белорусского происхождения от прозвища, либо адаптированная немецкая фамилия. Для точного ответа нужно знать конкретную семейную историю, но в любом случае это редкий случай, когда суффикс не даёт однозначной подсказки, а основа уходит в диалектную или иноязычную лексику.