Фамилия Бескурская — одна из тех, что ставит исследователя перед выбором: от какого слова её образовали? На слух она кажется прозрачной, но именно эта прозрачность обманчива. В основе лежит корень «кур-», но приставка «бес-» и суффикс «-ск-» дают несколько возможных толкований.

Самая прямая версия — топонимическая. Фамилия на «-ский/-ская» в подавляющем большинстве случаев указывает на географическое название. Бескурская — это та, кто родом из места Бескуры, Бескурки или Бескурье. Таких топонимов в современных атласах нет, но они могли существовать как названия хуторов, урочищ или небольших речек. Корень «кур» в славянской топонимике часто связывают с курами (птицами) или с курганами (насыпями). Если разбирать приставку «бес-» в значении «без», то Бескуры — это место, где нет кур (птиц) или нет курганов. Второе правдоподобнее: «бескурный» могло означать ровное, безхолмное пространство, где нет курганов. Фамилия тогда закрепилась за переселенцами, которые покинули такое место и получили прозвище по нему.

Другая версия — прозвищная, но более редкая для модели на «-ский». В русских говорах «кур» — это не только петух, но и дым, чад, пыль (от глагола «курить»). «Бескурный» — человек, который не курит, не дымит, или, в переносном смысле, тихий, неприметный. Однако от такого прозвища скорее образовалась бы фамилия Бескурников или Бескуров. Форма Бескурская с суффиксом «-ск-» почти со стопроцентной вероятностью говорит о том, что её дали по названию места, а не по личному качеству.

С точки зрения словообразования, фамилия женского рода. Мужской вариант — Бескурский. По происхождению это типичная дворянская или шляхетская модель (фамилии на «-ский» в XVII–XIX веках чаще носили помещики и духовенство, реже — крестьяне, получившие фамилию по названию деревни, в которой жили). Если предки Бескурских были мелкими землевладельцами, их родовое гнездо могло называться Бескуры. Если же фамилия поздняя и семинарская (давалась в духовных училищах), то её могли придумать искусственно от латинского или греческого корня, но это маловероятно: «бес-» и «кур» слишком по-русски звучат.

Итого: Бескурская — это «та, кто из Бескур». Ищите в документах XIX века упоминания о населённых пунктах с корнем «кур-» и приставкой «без-» в западных или центральных губерниях России, а также на Украине и в Беларуси. Там, скорее всего, и жили ваши предки.