Фамилия Беспогоднова — женская форма от Беспогоднов, а та, в свою очередь, — от прозвища Беспогодный. Основа здесь прозрачна: «беспогодица», то есть ненастье, дождливая или ветреная погода. Но за этим стоит не метеорологическое наблюдение, а характеристика человека. В русских говорах «беспогодным» могли назвать сварливого, неуживчивого человека, с которым «в доме ненастье». Вторая, более редкая версия — прозвище человека, родившегося в непогоду, или того, кто работал в поле и зависел от капризов природы, например, крестьянина, чей урожай часто страдал от дождей.

Суффикс -ов в основе Беспогоднов указывает на типичную русскую модель образования фамилий от прилагательных: сначала возникла форма Беспогодный (как ответ на вопрос «чей?» — сын Беспогодного), затем окончание -ой перешло в -ов, что характерно для фамилий, закрепившихся в XIX веке. Интересно, что фамилия могла писаться и как Беспогоднов, и как Беспогодный — в документах встречаются оба варианта, но именно с -ов форма стала преобладающей, особенно на севере и в центральной России.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в Архангельской, Вологодской и Кировской областях — регионах, где «беспогодица» — привычное слово для местного говора. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) она не упоминается, что говорит о её локальном, а не общерусском распространении. Скорее всего, предки носителей фамилии были крестьянами или ремесленниками из северных деревень, где прозвища давали метко и без прикрас.

Сравните с однокоренными фамилиями: Погодин (от «погода» в значении «хорошая погода»), Непогодин, Запогодин. Беспогоднов стоит в этом ряду особняком — не просто отрицание, а подчёркнутая характеристика характера. Если ваш предок носил это прозвище, он был, вероятно, человеком с непростым нравом, но в крестьянской среде такое прозвище не считалось оскорбительным — скорее, констатировало факт.