Фамилия Бетман — один из тех случаев, когда корень прозрачен, а происхождение неочевидно. Сразу слышится немецкое «Bettmann» (от «Bett» — кровать, постель), и это первая и самая распространённая версия: предок был мастером по изготовлению кроватей или торговцем постельными принадлежностями. В немецкой ономастике такие фамилии относят к профессиональным прозвищам, и они нередки в среде ремесленников. Однако есть и второй, менее очевидный путь: в некоторых диалектах немецкого «Bett» могло означать также «молитва» (ср. «beten» — молиться), тогда Бетман — прозвище набожного человека или, что реже, церковного служителя.

Сложность в том, что фамилия Бетман встречается не только у немцев, но и у евреев-ашкеназов. В еврейской среде она могла быть искусственно образована от того же немецкого корня, но уже как фамилия-украшение, без прямой связи с ремеслом. Кроме того, существует редкая версия о тюркском следе: в некоторых тюркских языках «бет» — лицо, а «ман» — суффикс принадлежности, то есть «лицом к лицу» или «видный». Но эта гипотеза слабая, так как не подтверждается массовым бытованием фамилии в тюркоязычных регионах.

В России фамилия Бетман — явный след приглашённых немецких специалистов (врачей, аптекарей, ремесленников) времён Петра I и Екатерины II. Немецкие колонии Поволжья и Причерноморья дали немало таких фамилий, которые затем русифицировались в написании: двойное «t» часто заменялось на одно, а окончание -mann превращалось в -ман. Поэтому в русских документах XIX века вы встретите и Беттман, и Бетман.

С точки зрения словообразования, фамилия стоит особняком: в ней нет типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский), что сразу указывает на иноязычное происхождение. Она не склоняется по падежам как типичная русская фамилия, но в бытовой речи её всё же могут изменять («у Бетмана», «с Бетманом»), хотя по строгим правилам она несклоняема, если принадлежит мужчине (женский вариант — Бетман, без изменений).

Таким образом, если ваши предки носили эту фамилию, с большой вероятностью они были либо немецкими ремесленниками, либо выходцами из еврейских местечек, получившими фамилию при переходе к оседлости в XIX веке. Уточнить можно только по архивным записям: если фамилия фиксируется в метриках лютеранской церкви — это почти наверняка немецкий след, если в записях раввината — ашкеназский.