Фамилия Бевецкая — женская форма фамилии Бевецкий, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -цкий указывает на типичную польскую или западнорусскую модель образования: такие фамилии часто давали по названию местности (ойкониму). В основе лежит корень «Бев-», который может быть связан с географическим названием вроде Бевичи, Бевка или Бевец. Прямых крупных топонимов с таким корнем в современных атласах нет, но это не редкость: многие сёла и хутора исчезли или сохранились только в документах XVII–XIX веков.

Другая версия — прозвищное происхождение. В украинских и белорусских говорах «бева» или «бёва» могло означать нечто вроде «рохля», «медлительный человек» (сравните с диалектным «бевкать» — болтать без толку). Если это так, то Бевецкий — потомок человека, которого прозвали за неторопливость или словоохотливость. Однако суффикс -ецк- чаще привязан к месту, чем к личному прозвищу, поэтому топонимическая версия выглядит чуть правдоподобнее.

Словообразовательная модель проста: основа «Бев-» + суффикс -ецк- (вариант -ск-) + окончание -ий. В женском роде окончание меняется на -ая. Такая схема типична для шляхетских фамилий Речи Посполитой, которые потом перешли в русскую среду через униатское или православное духовенство и мещанство. Бевецкие могли быть выходцами из мелкопоместной шляхты или из крестьян, получивших фамилию по деревне, где жили.

Географически фамилия редкая. Встречается в основном на западе России, в Беларуси и на Украине — в зоне бывшего влияния польской ономастики. В дореволюционных метрических книгах её можно найти среди записей по Могилёвской, Витебской или Волынской губерниям.

Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Беве́цкая. Вариант с ударением на первый слог (Бе́вецкая) возможен, но менее логичен для суффикса -ецк-.

Если коротко: фамилия происходит от названия небольшого поселения или, реже, от прозвища. Носительницы этой фамилии — потомки людей, живших в местечке с корнем «Бев-» или получивших дворянский статус по такому топониму.