Фамилия Бейская — редкий случай, когда географическое название перешло в фамилию почти без изменений, сохранив женский род. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ский, которые образованы от названий населенных пунктов в мужском роде (Бейский → Бейский), здесь мы видим форму, закреплённую за женщиной. Это значит, что в основе фамилии лежит не отчество или прозвище, а топоним — село, деревня или река Бейская. Носительница такой фамилии могла получить её при переезде: «откуда ты?» — «из Бейской», и ответ стал родовым именем.

Суффикс -ск- в русских фамилиях традиционно указывает на дворянское или духовное происхождение, но в случае с Бейской это не обязательно. В XIX веке такие фамилии часто давали крестьянам, переселенцам или солдатам, записывая их по месту рождения или жительства. Если Бейская — это река Бей (приток Енисея в Хакасии) или село Бейское (ныне село в Хакасии, центр Бейского района), то фамилия могла возникнуть у людей, чьи предки жили на берегах этой реки или в этом селе. В Хакасии до сих пор встречаются носители фамилии, что подтверждает региональную привязку.

Само слово «Бей» тюркского происхождения и означает «господин», «князь», «правитель». В тюркских языках «бей» — титул, аналогичный русскому «князь». Однако напрямую связывать фамилию с дворянским титулом рискованно: скорее всего, название реки или села восходит к гидрониму, где «бей» — часть древнего названия, смысл которого утерян. В ономастике известен принцип: географические объекты часто получают имена по случайным признакам (например, по цвету воды или форме берега), а не по социальному статусу.

Есть и вторая, менее вероятная версия: фамилия могла образоваться от прозвища Бей — так могли назвать человека властного, гордого или занимавшего начальственную должность. Но в таком случае мы бы ждали форму Бейский (для мужчины) или Бейская (для женщины) как притяжательное прилагательное от прозвища, что встречается реже. Обычно прозвища дают фамилии с суффиксами -ов/-ев или -ин, а не -ск-.

В любом случае, фамилия Бейская — нечастая, с чёткой территориальной привязкой к югу Сибири. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в Хакасии или на юге Красноярского края, в окрестностях реки Бей или села Бейское.