Фамилия Безейко сразу обращает на себя внимание нехарактерным для русской ономастики окончанием. В русском языке фамилии на -ейко — это почти всегда белорусский или украинский след. В Беларуси и на западе Украины суффикс -ейко (как и -енко, -ук) активно использовался для образования фамилий от личных имён или прозвищ. Так что Безейко — типичная «западнорусская» фамилия, которую принесли в Россию выходцы из этих земель.

Основа фамилии — Безей. Скорее всего, это форма личного имени или прозвища. Тут возможны два основных варианта. Первый: Безей — это народная, бытовая форма крестильного имени Евсей (Евсевий, от греческого «благочестивый»). В белорусском и украинском говорах «Евсей» легко превращалось в «Бевсей», а потом и в «Безей» — начальное «Б» часто прирастало к словам, начинавшимся с гласной, для удобства произношения. Второй вариант: прозвище Безей могло произойти от глагола «безить» или «безать» — в некоторых диалектах это означало «суетиться», «метаться», «говорить вздор». Человека могли прозвать Безеем за беспокойный нрав или болтливость.

Какая версия правдоподобнее? Имя Евсей было довольно распространено, и фамилии от него — Евсеев, Евсеенко — встречаются часто. Безейко, таким образом, стоит в том же ряду, что и украинские Евсейко или белорусские Аўсейка. Это более вероятный путь, чем редкое диалектное прозвище. Суффикс -ейко в белорусской традиции часто имел уменьшительно-ласкательный оттенок, так что Безейко — это буквально «маленький Безей» или «сын Безея».

С географией фамилии всё логично: Безейко встречается прежде всего в Беларуси (особенно в Минской и Гродненской областях), а также на приграничных территориях России — в Смоленской, Брянской, Псковской областях. В центральной России эта фамилия редкая и явно пришлая. Сословно носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами — фамилии на -ейко редко встречались у дворянства, это народная модель.

Таким образом, если вы Безейко, ваши предки с большой вероятностью жили на западе современной Беларуси или в соседних регионах, а фамилия пошла от человека по имени Евсей, которого в быту звали Безей.