Фамилия Бешейко звучит необычно для русского уха, и это прямой намёк на её происхождение. Скорее всего, перед нами украинская или белорусская фамилия, образованная по характерной для этих регионов модели с суффиксом -енк(о), который в диалектном произношении или при записи мог редуцироваться до -ейк(о). Основа здесь — «Беш-», что отсылает нас к прозвищу Беш или Беша.

Что могло означать это прозвище? Первая и самая очевидная версия — связь с тюркским словом «беш» (пять). В степных регионах, где русские, украинцы и казаки контактировали с тюркскими народами, числительные нередко становились прозвищами. «Беш» могли дать пятому ребёнку в семье, человеку, родившемуся пятого числа, или даже тому, кто отличался какой-то «пятёркой» — например, имел пять пальцев на руке (в отличие от шестипалых) или владел пятью дворами.

Вторая версия, менее распространённая, но тоже возможная — связь с украинским или белорусским глаголом «бешити» (бесить, злить). В таком случае прозвище Беша мог получить человек вспыльчивый, сварливый или просто тот, кто «доводил до бешенства» окружающих. Однако эта версия слабее: фамилии от глаголов обычно образуются через причастия (например, Бешеный), а не через чистую основу.

Суффикс -ейко характерен для украинских и белорусских говоров, где -енко часто переходило в -ейко под влиянием местного произношения. В польской традиции похожий суффикс -ejko тоже встречается, но для фамилии Бешейко украинско-белорусский след выглядит убедительнее.

Исторически носители фамилии Бешейко, скорее всего, были крестьянами или казаками из центральной Украины или юго-восточной Беларуси. В документах XIX — начала XX века эта фамилия встречается в Черниговской, Полтавской и Могилёвской губерниях. Сословно — преимущественно мещане или государственные крестьяне, без дворянских корней.

Если коротко: Бешейко — это «сын Беши», где Беша — либо тюркское прозвище по числу «пять», либо, менее вероятно, украинское прозвище от «бесити». Фамилия редкая, с яркой региональной окраской.