Фамилия Бежунарова — женская форма, а мужская, Бежунаров, встречается редко. С первого взгляда бросается в глаза необычная основа: «Бежун» — такого слова в современном русском литературном языке нет. Но если присмотреться, это почти наверняка вариант слова «бегун». Дело в диалектном произношении и записи: в южнорусских говорах, особенно на территории бывшего Рязанского княжества, звук «г» перед гласными мог переходить в «ж» (так называемое «геканье» или «дзеканье» наоборот). Сравните: «бегун» — «бежун». Фамилию дали человеку, который либо быстро бегал (гонцу, скороходу, спортсмену в народных состязаниях), либо, что вероятнее, был «бегуном» в переносном смысле — то есть бродягой, беглым крестьянином или человеком, который часто переезжал с места на место.

Суффикс «-ар» в основе «Бежунар» — явление довольно редкое для русских фамилий. Чаще всего он встречается в профессиях: бондарь, пекарь, писарь. Но здесь он стоит не после корня, а как бы вклинивается между корнем и фамильным окончанием: Бежун-ар-ов. Такая модель могла возникнуть двумя путями. Первый: прозвище «Бежунар» (тот, кто постоянно бегает, непоседа) образовали от глагола «бежать» с помощью малопродуктивного суффикса деятеля, а уже от него сделали фамилию. Второй: фамилия могла быть записана с ошибкой — вместо «Бегунов» или «Бегунков» писарь, услышав местное произношение, вывел «Бежунаров». В любом случае, это «живая» диалектная форма, которая не прошла через литературную норму.

Географически фамилия тяготеет к югу России. Наибольшее число носителей (и мужчин, и женщин) зафиксировано в Ростовской области и Краснодарском крае, что косвенно подтверждает южнорусское происхождение. Встречается она и в Запорожской области Украины — там «ж» вместо «г» в слове «бегун» тоже возможно, хотя и реже.

Сословно никаких привилегий у предков Бежунаровых, скорее всего, не было. Фамилия крестьянская или мещанская, возникшая не раньше XVII века, когда начали массово закрепляться прозвища за целыми семьями. Если бы предок был дворянином, фамилия звучала бы иначе — скорее, через «г» и с книжным окончанием «-ский». А тут чисто народная, «полевая» этимология: быстрый, непоседливый человек, возможно, беглый, которого прозвали Бежуном, а потом и Бежунаром.