Фамилия Безмольская — одна из тех, где написание расходится с привычным произношением и значением. Первое, что приходит в голову: она связана с молчанием, с кем-то «безмолвным». Однако это ловушка. В русских фамилиях приставка «без-» почти никогда не указывает на отсутствие качества у самого носителя. Чаще всего она входила в состав прозвища, которое давали человеку за его поведение или внешность. Но здесь корень, скорее всего, не «молвь» (речь), а географическое название.

Самая вероятная версия: фамилия образована от названия населённого пункта — Безмолье или Безмольская. Такие топонимы встречаются на северо-западе России, в частности в бывших Псковской и Новгородской губерниях. Ойконим «Безмолье» мог возникнуть от особенности местности: глухое, тихое место, где не слышно ни шума дорог, ни людской молвы. Тогда Безмольские — это дворяне или крестьяне, получившие фамилию по месту жительства или владения землёй. Суффикс «-ск-» как раз указывает на территориальную или административную принадлежность: «из Безмолья».

Менее распространённая гипотеза — прозвище Безмолва. В старину так могли назвать неразговорчивого, скрытного человека. Но тогда мы бы ждали форму «Безмолвин» или «Безмольев» (по модели «Молчанов»), а не «Безмольский». Фамилии на «-ский» в массе своей — топонимические, реже — семинарские (искусственно образованные в духовных училищах). Семинарский вариант тоже возможен: «Безмольский» могли дать ученику, который отличался тихостью или, наоборот, в насмешку над болтуном. Но для семинарских фамилий типичнее латинские или греческие корни, а здесь основа чисто русская.

В написании фамилии есть особенность: мягкий знак после «л» («Безмольская», а не «Безмолская»). Это указывает на древнее произношение с мягким «л» в корне «моль» (сравните: «молвить» — «мольвить» в диалектах). Такая орфография закрепилась в документах и сохранилась до наших дней, хотя в разговорной речи фамилию часто произносят твёрдо.

Таким образом, Безмольская — фамилия, скорее всего, географическая, указывающая на родовое гнездо в тихом, удалённом месте. Если ваши предки были из Псковщины или Новгородчины, это почти наверняка так. Если же нет — стоит проверить церковные метрики: не значился ли среди них семинарист, получивший фамилию за примерное молчание.