Фамилия Безсоновы — один из тех случаев, когда написание хранит память о дореформенной орфографии. Двойное «с» здесь не ошибка, а историческая норма: до реформы 1918 года приставка «без» писалась через «з» только перед гласными и звонкими согласными, а перед глухими — через «с». «Безсонов» — это «бессонный» по-старому. После реформы большинство носителей переписали фамилию на «Бессоновы», но часть семей сохранила исходный вариант, и теперь это маркер старой грамоты и, возможно, определённого социального круга — духовенства или купечества, где за буквой следили строже.

Словообразовательная модель прозрачна: основа «безсон» (бессонный человек) плюс типичный русский суффикс принадлежности -ов. Фамилия отвечает на вопрос «чей?» — сын Бессона. Само прозвище Бессон давали человеку, который мало спал: либо по роду занятий (сторож, ночной пастух, мельник, работавший по ночам), либо по характеру — тревожный, беспокойный, не знающий покоя. В словаре древнерусских имён С. Б. Веселовского зафиксирован реальный пример: крестьянин Бессон, живший в XV веке в Новгородской земле. Прозвище было не ругательным, а описательным — так могли назвать младенца, который плохо спал по ночам, и имя прирастало к нему на всю жизнь.

В отличие от фамилий на -ин (от основ на -а/-я), суффикс -ов указывает на основу мужского рода, оканчивающуюся на твёрдый согласный. Поэтому Бессоновы и Безсоновы — это одна и та же фамилия в двух орфографических вариантах, а не разные роды. В документах XIX века встречаются оба написания даже у одних и тех же лиц, что иногда путает исследователей генеалогии.

Географически фамилия рассредоточена по центральной России, но заметный след оставила в старых купеческих и мещанских списках Москвы, Тулы и Калуги. Встречается она и среди духовенства — в среде, где грамотность была поголовной, а написание фамилий фиксировалось строго по церковным метрикам. Если ваш предок писался через «с», это почти наверняка означает, что он или его отец получили фамилию до 1918 года и держались старой нормы сознательно или по привычке.

Однокоренные фамилии — Бессонный, Бессонников, Бессоновский — встречаются реже, но образованы от того же корня. В украинском языке аналогом будет Безсонний, в белорусском — Бяссонаў. Все они восходят к одному и тому же прозвищу, которое когда-то дали человеку, не знавшему сна.