Фамилия Безвершенко — довольно редкий пример того, как исходное прозвище изменилось не только суффиксом, но и корнем. В основе лежит прозвище Безверхий. В словаре В. И. Даля «безверхий» означает бедного человека, у которого нет ни одежды, ни головного убора. То есть прозвище могло указывать на внешний вид или низкое социальное положение — человека, ходящего «без верха», без шапки или добротной одежды.

Но есть и другая версия. На Русском Севере, в Сибири и в лесных регионах бытовал глагол «безвершить» — срубать верхушку дерева. «Безверхий» могло стать профессиональным именованием для того, кто занимался такой работой: валкой макушек, заготовкой осинового или соснового вершинника. В этом случае прозвище относилось к числу «профессиональных» и не несло унизительного оттенка.

Фамилия образована по украинской модели с суффиксом -енко. В украинской ономастике этот суффикс означает «сын» или «потомок». Безвершенко — буквально «сын Безверхого». Интересно, что в фамилии произошла перестройка основы: Безверхий превратился в Безверш- (с заменой -х- на -ш-), что типично для восточнославянской фонетики при образовании притяжательных форм. Полная форма — Безвершенко — закрепилась как наследственное имя, вытеснив исходное прозвище из обихода.

Фамилия встречается в основном на территории Украины и в южных областях России. Поскольку суффикс -енко характерен для Поднепровья и Левобережья, можно предположить, что предки носителя фамилии происходят из этих земель. В реестрах казацкой старшины и мещан XVII–XVIII веков фамилии на -енко фиксировались как «полуфамилии» — именования по отцу, которые затем закреплялись за родом.

Таким образом, у фамилии Безвершенко два равноправных смысловых слоя: либо указание на бедность и отсутствие «верха» (одежды, шапки), либо на ремесло — рубку верхушек деревьев. Какая из версий верна для конкретной семьи, можно попытаться выяснить по местным архивным записям: если предки числились лесорубами или плотниками, скорее всего, прозвище было профессиональным.