Фамилия Безвощук — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с отсутствием какого-то предмета или качества. В ней отчётливо слышится приставка без- и корень -вощ-, что сразу отсылает к слову «воск». Однако прямой смысл — «без воска» — вряд ли описывал человека, который не торговал воском или не делал свечей. Скорее всего, это прозвище носило ироничный или обидный оттенок: так могли назвать того, у кого «воска не допросишься», то есть скупого или ненадёжного человека. В народной речи «воск» мог означать и нечто липкое, неприятное, а «безвощный» — не имеющий этого свойства, то есть, возможно, неуживчивый.

Суффикс -ук (-щук) указывает на западноукраинское или белорусское происхождение. В этих регионах -ук часто образует фамилии от прозвищ или названий занятий (ср. Бондарчук, Ковальчук). Форма Безвощук — результат фонетического смягчения: исходное *Безвоск-ук превратилось в Безвощук, как в слове «вощина» (от воск). Это типично для говоров, где сочетание -ск- перед гласным переходит в -щ-.

Географически фамилия привязана к Волыни, Полесью и западным областям Беларуси. В этих краях воск был важным товаром: его собирали с диких пчёл (бортничество) и продавали. Прозвище Безвощук мог получить бортник, у которого не было воска к сроку, или крестьянин, не плативший оброк воском. Встречаются и более редкие варианты написания — Безвощук, Безвощюк, но основная форма устойчива.

В официальных документах фамилия фиксируется с XIX века. По переписям того времени носители — в основном крестьяне и мещане из Волынской губернии. Дворянских родов с такой фамилией не обнаружено, что подтверждает её простонародное происхождение. Сегодня Безвощуки живут в Украине (преимущественно Ровенская и Житомирская области), а также в диаспоре — в Канаде и США.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Безвощук стоит в одном ряду с Безвоскобойником (более развёрнутое прозвище) и Вощуком (уже от «воск» без отрицания). Но именно приставка без- делает эту фамилию уникальной: она не просто описывает занятие, а даёт оценку — возможно, нелестную.