Фамилия Безымянский — один из ярких примеров «отрицательных» фамилий, которые давали человеку не по его занятию или имени отца, а по отсутствию этих сведений. В основе лежит прозвище Безымянный, но за ним стояли разные жизненные ситуации. Чаще всего так называли сироту, который не знал ни отца, ни матери — то есть человека «без имени» в смысле без родовой памяти.

Но была и другая, более суровая практика. В XVIII–XIX веках чиновники при переписях и ревизских сказках записывали под фамилией Безымянный тех, кто не мог или не хотел назвать себя: беглых каторжников, ссыльных, бродяг, бездомных. Фамилия становилась не столько родовым знаком, сколько штампом «человек без прошлого». Именно поэтому фамилии этого типа — с корнем «без-» — особенно часто встречаются в Зауралье, Сибири и Забайкалье: в регионах, куда ссылали и где оседали беглые.

Словообразовательно фамилия Безымянский отличается от более простых Безымяннов или Безымянных. Суффикс -ский указывает на более позднее, книжное оформление — так могли переделать прозвище при записи в духовные или военные ведомости, либо при переселении. В одном ряду с ней стоят фамилии Безроднов, Безыменский, Неизвестных, Беспрозванный, Бесфамильный, Беспамятнов, Безызвестных — все они несут ту же идею: человек без корней, без имени или без памяти о родне.

Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Безымя́нский. Встречается и вариант Безыменский — с чередованием «я/е», что тоже закономерно для говоров и канцелярских ошибок. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах за Уралом или в сибирских архивах — именно там таких «безымянных» записывали чаще всего.