Фамилия Бигилева — женская форма фамилии Бигилев. Её основа — прозвище или нецерковное имя Бигиль, и здесь есть как минимум две правдоподобные версии происхождения, ни одна из которых не связана с тюркским «богатырь» (хотя внешнее сходство есть).

Первая и наиболее вероятная — от диалектного глагола «бигилять», который в рязанских и тамбовских говорах означал «шататься без дела», «слоняться». Бигилем могли прозвать непоседливого, праздного человека. Такие прозвища по поведению — обычное дело для русской антропонимии XV–XVII веков, когда фамилии только начинали закрепляться. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей сын?» — Бигилев, то есть сын Бигиля.

Вторая версия — от имени Бигиль, которое могло быть вариантом крестильного имени Вигилий (от лат. vigilis — «бодрствующий», «страж»). В народном произношении начальное «в» часто отпадало, а «г» на месте латинского — обычная адаптация. Однако эта гипотеза слабее: имя Вигилий было редким даже в святцах, и вряд ли оно породило устойчивое прозвище в крестьянской среде.

Фамилия географически привязана к центральным и южнорусским областям. В документах XIX века Бигилевы встречаются в Тамбовской и Рязанской губерниях, что косвенно подтверждает первую версию — именно там фиксируется глагол «бигилять». В других регионах фамилия редка.

Не стоит путать Бигилева с фамилией Бигильдин (от тюркского «бигильде» — «ставший богатырём») — это разные корни и разные ареалы. У Бигилева основа чисто русская, диалектная, без татарского или башкирского следа.

Итог: предки современного носителя фамилии, скорее всего, были крестьянами из центральной России, а их дальний пращур получил прозвище за привычку бродить без дела или за беспокойный нрав.