Фамилия Биковська — украинская по происхождению, что выдает суффикс -ськ- (в русской передаче часто -ск-). Эта модель указывает на образование от географического названия: такую фамилию получал либо тот, кто владел землей в определенном месте, либо выходец из него. В основе лежит топоним Быков (укр. Биків) — таких сел и хуторов на Украине десятки, от Волыни до Полтавщины. Женская форма на -а говорит о том, что перед нами носительница фамилии, а мужской вариант — Биковський.

Корень «бик» (укр. «бык») в топониме мог указывать на место, где держали скот, или на прозвище первого поселенца — сильного, упрямого человека, похожего на быка. В ономастике это распространенный мотив: фамилии Быковский, Быков, Биковский встречаются у всех восточных славян, но именно украинская огласовка Биковський закрепилась в западных и центральных областях Украины. В документах XIX века носители этой фамилии чаще всего значились как крестьяне или мещане, реже — как шляхта герба Гриф или Помян, но это скорее исключение, чем правило.

С точки зрения словообразования фамилия прозрачна: основа Биков- + суффикс принадлежности -ськ- + окончание -а. В русском языке её часто записывают как Быковская, путая корневой гласный. Если ваши предки писались именно через «и», это почти наверняка указывает на украинскую или южнорусскую среду — например, на бывшую территорию Гетманщины или Слобожанщины. Найти точное село, от которого пошла фамилия, можно по старым исповедным ведомостям: ищите Биковських в Киевской, Черниговской или Полтавской губерниях.