Фамилия Бирбиров — редкая и неочевидная. В ней нет прозрачного «ремесленного» корня вроде Кузнецов или Плотников, и её происхождение приходится реконструировать по обломкам словообразовательной модели.

Самый надёжный ключ — суффикс -ов. Он указывает на типичную русскую патронимическую модель: Бирбир — это личное прозвище или имя, а Бирбиров — «сын Бирбира». Вопрос упирается в то, что такое «Бирбир». В русском языке такого слова нет. Скорее всего, основа — иноязычная. Здесь возможны две основные версии.

Первая: тюркская. В тюркских языках есть корень «бир» — «один» или «дай» (повелительное наклонение от глагола «давать»). Повтор «бир-бир» мог означать «дай-дай» (прозвище попрошайки или щедрого человека) или «один-один» (возможно, характеристика человека, который всё делает по одному, или прозвище единственного сына). Такие редуплицированные прозвища встречаются у тюркских народов, и фамилия могла возникнуть в среде татар, башкир или чувашей, а затем обрусела через суффикс -ов.

Вторая версия: кавказская. В некоторых языках Дагестана (например, в аварском) есть слова, близкие к «бирбир» — они могут означать «сверкающий», «блестящий» или относиться к названию птицы (перепел, чибис). Прозвище могли дать человеку с яркой внешностью или быстрому, вертлявому. Фамилии с таким корнем действительно фиксируются у народов Северного Кавказа, а суффикс -ов мог появиться при русификации в XIX–XX веках.

Искать фамилию Бирбиров в старых дворянских родословных книгах бессмысленно: это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая не в центральных губерниях, а на окраинах Российской империи. Географически она тяготеет к Поволжью, Предуралью и, возможно, к степям Северного Кавказа. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит проверить метрические книги Казанской, Уфимской или Ставропольской губерний — там вероятность найти исходное прозвище выше всего.