Фамилия Биряхин — редкая и неочевидная. Чтобы разобраться в её происхождении, придётся отбросить внешне похожие, но чужие корни. Она не связана с тюркским «бирюк» (волк-одиночка) и не имеет отношения к слову «бирюза». Её основа — русское диалектное слово «бирях» или «бирюх», которое в некоторых говорах означало угрюмого, нелюдимого человека, домоседа, который редко выходит из дома. Именно это прозвище — Бирях — и легло в основу фамилии.

Модель образования простая и архаичная: суффикс -ин указывает на принадлежность. Биряхин — «сын Биряха» или «человек из рода Биряха». Такая патронимическая форма характерна для фамилий, сложившихся в северных и центральных русских землях, где прозвища на -ах, -ух, -юх были распространены. Сравните: Брюхатый — Брюханов, Лепёха — Лепёхин, Биряха — Биряхин.

Написание фамилии с буквой «я» во втором слоге — результат аканья или диалектного произношения. В документах XVII–XVIII веков эту фамилию могли записывать как Берехин или Бирехин, пока написание не закрепилось в современном виде. Встречается она преимущественно в Поволжье и на Урале, что косвенно указывает на миграцию населения из центральных областей России в XVI–XVII веках.

Социальный состав носителей — скорее всего, крестьяне или посадские люди. Прозвище Бирях не было почётным, его давали за характер, а не за ремесло. Поэтому никакого «княжеского» или «служилого» происхождения у фамилии нет. Это бытовое, народное имя, которое случайно стало наследственным.

Если суммировать: Биряхин — это «потомок нелюдимого человека», и фамилия эта — живое свидетельство того, как меткое деревенское прозвище закрепилось в роду на века.