Фамилия Беряхин образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от основы на -а/-я с помощью патронимического суффикса -ин. Это значит, что в основе лежит либо прозвище, либо нецерковное имя Беряха. Такая словообразовательная цепочка (Беряха → сын Беряхи → Беряхин) типична для восточных, западных и южных славян, хотя в русском быту суффикс -ин чаще всего указывает на принадлежность к отцу.

Корень бер- многозначен и даёт две основные версии происхождения. Первая отсылает к глаголу «брать» (древнерусское «бьрати»): прозвище Беряха могли дать человеку, который берёт, собирает, запасает — хозяйственному или, напротив, склонному к присвоению чужого. Вторая версия связывает фамилию с личным именем Беря — краткой формой от христианского Варфоломей (через народное Варфоломейко). Имена, усечённые до двух слогов, в XV–XVII веках переходили в прозвища и фамилии очень часто.

Спорных версий немного, и они слабее. Например, связь с тюркским корнем (ср. «бер» — «дай» в тюркских языках) маловероятна: фамилия не имеет характерных тюркских суффиксов, а её ареал — преимущественно русские центральные области, где такое влияние минимально.

Сама фамилия редкая. В дореволюционных справочниках она не фиксируется как дворянская или купеческая — скорее всего, её носили крестьяне или посадские люди. В современных телефонных справочниках и базах данных Беряхины встречаются единично, в основном в Поволжье и на юге России, что косвенно подтверждает бытовое, а не книжное происхождение: фамилия не разошлась широко, а закрепилась локально.

Если ваш предок — Беряхин, то с высокой долей вероятности он потомок человека по прозвищу Беряха, которое в XV–XVI веках заменило или дополнило его крестильное имя. Что именно означало это прозвище — «запасливый» или «Варфоломей на домашний лад» — сегодня уже не установить, но обе версии ведут в одну эпоху, когда русские фамилии только начинали закрепляться за родами.