Фамилия Бирыш — редкая и нестандартная для привычного русского ономастикона. Её происхождение почти наверняка не связано с исконно русскими корнями, и поиск нужно вести в тюркских языках. Основа «бир» в большинстве тюркских наречий означает «один» или «дай» (повелительное наклонение от глагола «давать»). Суффикс «-ыш» образует отглагольные существительные или имена действия. Соответственно, Бирыш может быть осмыслено как «единство», «объединение» либо как «даяние», «подарок».

География фамилии подсказывает её вероятный ареал. Бирыш встречается у татар, башкир, чувашей, а также у народов Северного Кавказа (например, у кумыков или ногайцев). В русском контексте такая фамилия — типичный пример адаптации тюркского прозвища к русской паспортной системе: окончание «-ш» осталось без изменений, не приросло типичными русскими суффиксами -ов или -ин. Это говорит о сравнительно поздней фиксации фамилии, скорее всего в XIX — начале XX века, когда документы оформляли с сохранением исходного звучания.

Скорее всего, Бирыш — это не фамилия в привычном для русских смысле (по отцу или профессии), а личное прозвище или даже доисламское имя. В тюркской традиции имена-числительные (Бир, Берды, Бирим) давали детям, чтобы обмануть злых духов — считалось, что «первый» или «единственный» ребёнок выживет. Позже такое имя закрепилось за родом. Вторая версия, менее популярная, возводит Бирыш к диалектному «бирыш» — «скворец» (в некоторых тюркских говорах), но лингвисты считают эту гипотезу слабой из-за редкости такого значения.

Родственных фамилий немного: Биров, Биряев, Биримов — все они образованы от тюркского корня «бир», но с разными формантами. Фамилия Бирыш стоит особняком: она не получила патронимического суффикса и сохранила форму чистого прозвища. Встречается она крайне редко — по открытым данным, носителей в России не более нескольких сотен, в основном в Татарстане, Башкортостане и Оренбургской области.