Фамилия Боаги — редкая и нетипичная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не славянское, а западноевропейское, и скорее всего — французское. В русском языке она выглядит как транслитерация французской фамилии Beauhage или Beauagé, где beau означает «красивый, прекрасный», а вторая часть может восходить к слову âge («возраст») или, что более вероятно, к hagard («дикий, неприрученный»). В таком случае исходное прозвище могло означать «красивый дикарь» или «прекрасный незнакомец» — типичный для средневековой Франции образ, который давали чужеземцу или человеку с необычной внешностью.

В России эта фамилия могла появиться через французских эмигрантов, дворян или военных, бежавших от революции конца XVIII века, либо через гувернёров и учителей, приезжавших в дворянские семьи. Поскольку суффикс -и не является русским патронимическим окончанием, фамилия не подверглась адаптации: её не переделали в Боагов или Боагин. Это указывает на то, что носители, скорее всего, сохраняли память об иностранном происхождении и не стремились русифицировать фамилию. Сословно предки могли быть дворянами, интеллигенцией или офицерами, но точных данных нет — фамилия слишком редка, чтобы проследить её по переписям.

Интересная деталь: написание через «о» и «а» (Боаги, а не, скажем, Боаж) говорит о том, что при передаче на русский язык французское «ж» (ge) заменили на «г» — это характерно для записей в паспортах и метриках XIX века, где звук [ʒ] часто упрощали. Если бы фамилия пришла из немецкого или английского, она выглядела бы иначе. Таким образом, Боаги — почти наверняка французская фамилия, осевшая в России в результате эмиграции или культурного обмена, и её носители были либо потомками переселенцев, либо людьми, чьи предки имели отношение к французской среде — от учителей до военнопленных 1812 года.