Фамилия Боаге звучит настолько не по-русски, что первая мысль: это иноязычное заимствование. Так и есть. В русском языке у неё нет ни привычного суффикса -ов, ни окончания -ин. Основа фамилии — Боаге — не разлагается на славянские корни. Скорее всего, перед нами немецкая или голландская фамилия, записанная на слух. В немецком языке существует фамилия Boage (с ударением на второй слог), которая, в свою очередь, могла произойти от топонима — названия населённого пункта в Нижней Саксонии или от диалектного слова, означающего «лук» или «изгиб» (Bogen). В голландском варианте Boage могло быть формой фамилии van den Boogaard, где Boogaard — это «сад» или «огород» (от boomgaard — «фруктовый сад»). В любом случае, носитель этой фамилии в России — почти наверняка потомок иностранца, переселившегося в империю в XVIII–XIX веках. Среди обрусевших немцев, голландцев или шведов такие «чистые» фамилии без русификации встречались редко, но метко. Если ваш предок Боаге, он мог быть колонистом, ремесленником или офицером на русской службе. Второй, менее вероятный, но не исключённый вариант — фамилия могла быть искусственно создана в советское время из аббревиатуры или инициалов, но для этого нет никаких лингвистических оснований. Искать корни стоит в архивах лютеранских приходов или в списках иностранных поселенцев Поволжья.