Фамилия Богданоиа — редкий случай, когда написание подсказывает больше, чем произношение. Скорее всего, вы столкнулись с опечаткой или нестандартной передачей на письме: в русском языке нет суффикса -оиа, а финаль -а указывает на женскую форму или на происхождение из языков, где окончание не отбрасывается. Самая вероятная версия — перед нами русифицированная или искажённая запись фамилии Богданова (от отчества Богданович). Но есть и другая, более экзотическая гипотеза.

Если отбросить ошибку, то основа фамилии — имя Богдан, что значит «Богом данный». В древнерусской традиции это было некалендарное, мирское имя: так называли ребёнка, которого долго ждали или чьё рождение считали подарком свыше. Фамилии на -ов/-ев от таких имён — самая массовая модель в России. Вариант Богданоиа мог возникнуть при записи фамилии польского или украинского происхождения (ср. Богданович, Богданюк), где конечное -а — это русифицированное окончание женского рода или результат адаптации через канцелярию XIX века. В метрических книгах нередко встречаются искажения: писарь на слух записывал «Богданоиа» вместо «Богданова», особенно если носитель говорил с акающим произношением.

Ещё один поворот — фамилия могла принадлежать выходцам из греческого или молдавского ареала. В греческом суффикс -оиа встречается в фамилиях (например, Пападопулос → Пападопулоиа), но для славянского корня это нетипично. В молдавских и румынских документах XIX века фамилии часто записывали с окончанием -а, и Богданоиа могло быть попыткой передать звучание Богданоая (от Богдан + суффикс -оая, указывающий на принадлежность). Но без архивных записей это лишь предположение.

Социальный контекст прост: предки носителя фамилии — скорее всего, крестьяне или мещане, получившие фамилию по имени отца. Дворянские роды Богдановых обычно имели герб и фиксировались в родословных книгах, но форма Богданоиа в таких источниках не встречается. Если ваша фамилия именно так записана в документах, стоит проверить региональные архивы Украины, Беларуси или юга России — там подобные искажения были нормой. В любом случае, корень фамилии ясен: она напоминает о предке, которого нарекли Богданом.