Фамилия Богучава звучит для русского уха как что-то южное, и это верное направление. Это грузинская фамилия, и её разбор стоит начать не с корня, а с типичного для Западной Грузии суффикса -ава. В грузинской ономастике этот суффикс (как и -дзе, -швили, -ия) указывает на происхождение: в данном случае он образует фамилии от личных имён, прозвищ или географических названий. Носители фамилий на -ава чаще всего связаны с регионом Мегрелия и прилегающими районами.

Основа «Богуч» не имеет прямого перевода в современном грузинском языке. Вероятнее всего, перед нами сложное слово, где первая часть «бог» — это «бог» (ღმერთი, гмерти), а вторая — сокращение от имени или прозвища. Одна из рабочих гипотез: Богучава может восходить к древнегрузинскому имени Богуа (Бог, божественный) с добавлением уменьшительного суффикса -уча. То есть «маленький Бог», «Божий человек» — прозвище, данное либо набожному человеку, либо, что случалось в средневековой Грузии, ребёнку, которого родители посвятили Богу в благодарность за рождение.

Менее вероятна, но не исключена версия о тюркском влиянии: «богуча» могло означать «бычок» или «молодой бык» (ср. тур. boğa — бык). Однако для грузинской фамилии это нехарактерно, и привязка к грузинскому «бог» выглядит убедительнее. В любом случае, фамилия указывает на древность рода: такие прозвищные модели формировались в Западной Грузии ещё в XV–XVII веках, когда фамилии на -ава только закреплялись за крестьянскими и княжескими родами.

Среди носителей фамилии известны грузинские политики, врачи и спортсмены, но в массе своей Богучава — фамилия распространённая, без узкой сословной привязки. Если вы её носите, то ваши предки, скорее всего, выходцы из мегрельских горных сёл, а сама фамилия — напоминание о том, что когда-то кого-то из них назвали «божьим человеком».