Фамилия Богуч — редкий пример того, как церковнославянское слово «бог» соединилось с украинским или польским уменьшительным суффиксом. В русском языке основа «бог» редко даёт фамилии на -уч, потому что суффикс -уч- характерен для западнославянских языков, особенно украинского и польского. В украинском «бог» звучит как «біг», но в старых письменных источниках сохранялась форма «бог». Суффикс -уч в украинских прозвищах означает «тот, кто делает» или «обладатель признака» (сравните «крикун» — «крикуч»). Получается, что Богуч — это «тот, кто связан с богом» или «божий человек». Скорее всего, так прозвали набожного, благочестивого человека или того, кто много времени проводил в церкви.

Вторая версия, менее вероятная, но встречающаяся в некоторых говорах: «богуч» могло быть прозвищем нищего, который просит милостыню «ради бога». Однако в таком случае фамилия, скорее всего, звучала бы иначе — например, Богущий или Богунов. Поскольку фамилия оканчивается на -уч, а не на -ов или -ин, это указывает на её раннее закрепление в западнорусских землях, где суффикс -уч сохранился как самостоятельная фамильная модель. В центральной России такие фамилии обычно переделывали в Богучов или Богучев, но вариант Богуч остался в первозданном виде.

Географически фамилия Богуч встречается на западе Украины, в Беларуси и в юго-западных областях России, особенно в Брянской и Смоленской областях. Это совпадает с зоной расселения, где украинское и белорусское влияние смешивалось с русским. Интересно, что в польском языке есть слово «bogucz» как устаревшее обозначение священнослужителя низшего ранга, но эта версия требует дополнительного подтверждения — в польских фамильных словарях Богуч не фиксируется как распространённая форма.

Сравните с однокоренными фамилиями: Богуцкий (с суффиксом принадлежности) и Богушев (с патронимическим суффиксом). Богуч стоит особняком — он короче, архаичнее и указывает не на отчество, а на прямое прозвище. Если ваши предки носили эту фамилию, то, скорее всего, они происходили из крестьянской или мещанской среды западных губерний Российской империи, где прозвища давали по характеру, а не по профессии.