Фамилия Бооле — редкий для России случай, когда фамилия не переделана на русский лад, а сохранила иноземное окончание. В русском языке фамилии на -е, -о, -у, -э, -и, -ы обычно не склоняются и указывают на позднее (XIX–XX век) или нерусское происхождение. Бооле — именно такая: она не получила типичных русских суффиксов -ов или -ин, а значит, её принесли в Россию либо в результате миграции, либо как фамилию обрусевших иностранцев.

Скорее всего, перед нами фамилия немецкого или голландского корня. В немецком языке фамилия Bohle (читается «Бо́ле») встречается довольно часто. Она образована от средневерхненемецкого bole — «друг, приятель, возлюбленный». Это прозвище могли дать добродушному, общительному человеку. Вариант написания с двумя «о» и двойной «л» (Boole) тоже возможен, но он скорее английский или ирландский: вспомним математика Джорджа Буля (George Boole), создателя булевой алгебры. Однако в русской передаче его фамилия пишется как Буль, а не Бооле.

Другая версия — топонимическая. В Германии есть несколько населённых пунктов с названием Bohle, а в Нидерландах — Boele. Фамилию мог получить выходец из такого места. В пользу немецкого происхождения говорит и то, что в России носители фамилии Бооле встречаются в основном среди потомков поволжских немцев или прибалтийских остзейцев. Встречаемость фамилии в современных российских базах крайне низкая — буквально единицы на всю страну.

Окончание -е в русском контексте — признак того, что фамилию не адаптировали, а оставили в исходной форме. Это характерно для семей, которые долго сохраняли своё иноязычное самосознание, либо для тех, кто получил паспорт уже в советское время, когда правила транслитерации стали строже. Если ваш предок носил фамилию Бооле, с высокой вероятностью он был немцем, голландцем или шведом, переселившимся в Российскую империю в XVIII–XIX веках.