Фамилия Борчакова — женская форма фамилии Борчаков, и её происхождение стоит искать в мужском прозвище или имени, от которого она образована. В русской ономастике фамилии на -ов/-ев, как правило, указывают на принадлежность: «чей?» — «Борчаков», то есть сын или потомок человека по прозвищу Борчак.

Самая прямая и правдоподобная версия связывает основу «Борчак» с тюркскими языками. Слово «борчак» (или «бурчак») в ряде тюркских наречий означает «горох» или «стручковое растение». Такое прозвище могли дать человеку невысокого роста, круглолицему, либо тому, кто занимался выращиванием или продажей гороха. В тюркской среде прозвища по растениям и плодам были распространены — они описывали внешность, характер или род занятий без особой фантазии, но метко. Учитывая, что фамилия Борчакова встречается в регионах с сильным тюркским влиянием (Поволжье, Урал, Северный Кавказ), эта версия выглядит наиболее обоснованной.

Менее вероятна, но допустима связь с русским диалектным словом «борчать» — в некоторых говорах так говорили о ворчании, брюзжании. Тогда Борчак — прозвище ворчливого, недовольного человека. Однако эта версия слабее: во-первых, глагол «борчать» редок и локально ограничен, во-вторых, фамилии с суффиксом -ак/-чак от русских глаголов встречаются реже, чем от тюркских основ.

Обратите внимание на суффикс -ак/-чак. В русских фамилиях он часто выступает как уменьшительный или прозвищный: Борчак — это не полное имя, а именно прозвище, которое давали в быту. В тюркских же языках этот суффикс может быть частью корня, как в самом слове «борчак». Поэтому морфологически фамилия проста: основа Борчак + патронимический суффикс -ов (в женской форме -ова).

Сословная принадлежность носителей фамилии Борчаковых не закреплена за каким-то одним слоем. Судя по распространённости, это могли быть и крестьяне, и казаки, и мещане — фамилия не указывает на дворянство или духовенство. В исторических записях фамилия встречается с XIX века, преимущественно в южных и восточных губерниях России, что косвенно подтверждает тюркскую версию происхождения.

Итог: скорее всего, ваш предок по мужской линии носил прозвище Борчак, данное ему за внешнее сходство с горошиной или за занятие, связанное с горохом. Фамилия — типичный пример того, как бытовое прозвище, уходящее корнями в тюркскую лексику, закрепилось в русской фамильной системе.