Фамилия Бордашенко звучит как типичная украинская фамилия, и её разбор подтверждает это. Суффикс -енко — один из самых распространённых в украинской ономастике, он обозначал потомка или человека, связанного с тем, кто назван в корне. В данном случае корень — Бордаш.

Что такое «бордаш»? Точного слова в современном языке нет, но есть несколько версий, и самая правдоподобная ведёт к прозвищу, образованному от слова «борода». В диалектах юго-западных регионов (особенно на Волыни и Подолье) «борда́тый» или «борда́ч» — это бородатый человек. Чередование «д»/«ж» (борода — бордатый) — явление нередкое для украинских и белорусских говоров. Соответственно, Бордаш — это прозвище мужчины с заметной, возможно, длинной или окладистой бородой. Фамилия Бордашенко, таким образом, означает «сын Бордаша» или «потомок Бородатого».

Есть и более редкая, но всё же возможная версия — связь с тюркским словом «борда» (в значении «здесь», «тут»). Однако для прозвища это маловероятно: тюркские корни в украинских фамилиях обычно дают прозвища по внешности или занятию (например, Бурда — от «бурдюк»), а не от указательного местоимения. Поэтому версия с бородой — основная.

Географически фамилия Бордашенко тяготеет к центральным и северным областям Украины: Черкасской, Полтавской, Сумской, а также встречается в Харьковской области. В России она редка и, скорее всего, попала туда с миграционными волнами конца XIX — начала XX века. Сословно это почти наверняка крестьянская или казацкая фамилия — суффикс -енко в малороссийских губерниях был массовым именно среди этих слоёв, в отличие от польских или великорусских дворянских фамилий на -ский/-цкий.

Интересно, что фамилия не имеет «двойников» с корнем «Борд» (Бордов, Бордин), которые могли бы указывать на другое происхождение. Она стоит особняком, и её украинский характер не вызывает сомнений. Если ваш предок носил её, он почти наверняка был выходцем из украинского села, и прозвище ему дали по самой заметной примете — бороде.