Фамилия Ботаженко — редкий случай, когда мы почти наверняка знаем её географический адрес. Суффикс -енко указывает на украинское происхождение: такие фамилии массово формировались в Поднепровье, на Левобережной и Слободской Украине в XVII–XVIII веках. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые чаще означали «сын такого-то» или «принадлежащий», -енко прямо значило «потомок», «маленький», «сын». То есть Ботаженко — это «сын Ботажа» или «потомок Ботажа».

С корнем сложнее. В украинском языке есть слово «ботати» — в разных говорах оно означает «болтать», «качать», «плескать» или «мешать». Отсюда же «ботало» — приспособление для взбалтывания жидкости, например пахты. Прозвище Ботаж могли дать человеку по характеру: говорливому, суетливому, непоседливому. Но есть и другая версия — профессиональная. На юге России и в Украине «боталом» называли деревянный молоток рыбаков: им били по воде, загоняя рыбу в сети. Человек, который этим занимался, мог получить прозвище Ботай или Ботаж. Фамилия Ботаженко тогда — потомок рыбака, глушившего рыбу.

Встречается и вариант, что основа — от южнославянского «бота» (брат), но для украинской фамилии это менее вероятно: форма «бота» не характерна для местных говоров, и суффикс -енко не типичен для балканских фамилий. Скорее всего, перед нами именно украинское прозвище по занятию или поведению.

Фамилия нечастая. В современных базах она встречается точечно — в основном в центральных и восточных областях Украины, а также среди потомков переселенцев на Кубани и в Ставрополье. Дворянского происхождения у неё нет: Ботаженко — типичная крестьянская или казачья фамилия, закрепившаяся в реестрах после отмены крепостного права или в казачьих списках.