Фамилия Божданова — женская форма фамилии Божданов, которая встречается редко и имеет неочевидную этимологию. В отличие от распространённых фамилий на -ов, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров), Божданов стоит особняком. Основа «Бождан» или «Богдан» — здесь ключевой момент: фамилия могла возникнуть из диалектного произношения имени Богдан. В южнорусских и украинских говорах «о» в безударной позиции нередко переходило в «а»: Богдан произносили как «Бождан» (с аканьем и смягчением «г» перед «д»). Так что Божданов — это фонетический вариант фамилии Богданов, записанный «на слух» переписчиками или писарями.

Но есть и вторая, более редкая версия. Суффикс -ан- в основе «Бож-» мог указывать на прозвище от слова «божать» (старорусское «божаться» — клясться, божиться). В этом случае Бождан — человек, который часто клянётся, божится, возможно, вспыльчивый или набожный. Такие прозвища давали по характерной черте поведения, и фамилия закрепилась в форме Божданов. Однако эта гипотеза слабее: в письменных источниках XVI–XVII веков, по данным словаря С. Б. Веселовского, фамилии с корнем «бож-» (Божко, Божин) чаще связывали с именем Богдан, чем с глаголом.

География фамилии Божданова сегодня — в основном юг России и Поволжье. Встречается и у донских казаков, где «акающие» фамилии не редкость. Социальный состав носителей — крестьяне и мещане, никакого дворянского корня у этой фамилии нет. Интересно, что в метрических книгах XIX века можно найти написание через «о» — Богданова, и через «а» — Божданова, даже в одной семье. Это говорит о том, что фамилия «народная», не устоявшаяся в орфографии до советских паспортизаций.

Если ваши предки — Бождановы, скорее всего, их родовая фамилия — это вариант Богдановых, но записанный местным говором. Никакой мистики или связи с «божьим» тут нет, только живая диалектная фонетика.