Фамилия Божков в своей основе восходит к мужскому имени Божко. Это имя пришло в русский язык из Болгарии и переводится как «богом данный». В славянской традиции Божко — одна из множества производных, разговорных форм, образованных от полного имени. У болгар Божко со временем стало самостоятельным мужским личным именем, поэтому фамилия Божков могла возникнуть и в болгарской, и в русской среде как отчество: «чей сын?» — Божков, то есть сын Божко.

Суффикс -ов в фамилии указывает на типичную восточнославянскую модель образования: сначала прозвище или имя отца становилось основой, а затем притяжательный суффикс закреплялся в качестве родового имени. Если смотреть на географию, фамилия Божков встречается не только в России, но и в Болгарии, а также у южных славян, что подтверждает её общие корни.

Менее вероятна версия, связывающая фамилию с нарицательным «божок» (уменьшительное от «бог»). В таком случае можно было бы предположить, что основатель рода получил прозвище за языческие или неканонические верования, но эта гипотеза слабее: имя Божко было распространённым и документально зафиксированным, а прозвище «божок» в русской ономастике встречается редко и обычно имеет ироничный оттенок.

Словообразовательная модель здесь проста: основа Божк- + суффикс -ов. Ударение в фамилии чаще падает на первый слог: Бо́жков. Встречается и вариант с ударением на второй слог — Божко́в, но он менее характерен для русской традиции.

Таким образом, фамилия Божков — это отчество от имени Божко, которое, в свою очередь, является сокращённой формой имён, связанных с божественным даром (например, Богдан). Предки носителей этой фамилии могли быть как русскими крестьянами или горожанами, так и выходцами из Болгарии, где имя Божко было особенно популярно.