Фамилия Божкови — хороший пример того, как одна буква может изменить всё. Если вы встретили её у южных славян (сербов, хорватов, болгар), то перед вами типичная патронимическая фамилия с суффиксом -и, который в этих языках заменяет русское -ов/-ев. Основа здесь — личное имя Божко, уменьшительная форма от Божидар («дар Бога») или от простонародного Божо. Носитель фамилии — потомок человека по имени Божко.

Но на русской почве фамилия Божкови выглядит инородно. В русской традиции фамилии на -и (в именительном падеже множественного числа) закрепились в основном на Русском Севере и в некоторых центральных областях (Божковы, Божкины). Форма Божкови — это либо украинский или белорусский вариант (с ударением на последний слог, по модели Шевченко — Шевченки), либо, что вероятнее, результат поздней паспортной записи, когда окончание -ов по ошибке заменили на -и. В любом случае, корень один: прозвище или имя Божко.

Само имя Божко в старину могло быть не только уменьшительным от христианского имени, но и мирским, «обережным» именем. Славяне верили, что имя, связанное с божественным, защитит ребёнка от злых сил. Так что предок носителя фамилии Божкови мог быть человеком, которого в миру звали Божко — либо в честь Бога, либо как ласковое обращение к младшему в роду.

Географически фамилия встречается редко, в основном в западных регионах бывшей Российской империи и в странах бывшей Югославии. Если ваши предки — из Сербии или Черногории, то фамилия, скорее всего, исконная и восходит к XIV–XV векам. Если из русских губерний — то это, вероятно, результат миграции или описки при переписи.

С точки зрения словообразования, фамилия Божкови стоит в одном ряду с такими, как Янкович, Петрович, Милкович — сербские патронимы на -и, где суффикс -ович/-евич со временем сократился до -и. В русском аналоге это звучало бы как Божков, но с ударением на второй слог.