Фамилия Бозров — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. На первый взгляд она напоминает множество русских фамилий на -ов, образованных от полных или уменьшительных форм крестильных имён (вроде Петров, Иванов). Но с основой «Бозр» всё сложнее: ни в православных святцах, ни в славянском именослове такого имени нет. Значит, корень фамилии нужно искать либо в прозвище, либо в иноязычном заимствовании.

Скорее всего, фамилия тюркского происхождения. В тюркских языках (особенно в карачаево-балкарском, кумыкском, ногайском) есть основа «боз» — «серый», «сивый», «светлый», а также «степь», «целина». Аффикс «-р» в тюркских языках может быть частью слова или придавать значение деятеля. Слово «бозар» или «бозур» могло означать «серый», «сивый» (о масти лошади) или «степняк», «житель степи». Тогда Бозров — это русифицированная форма тюркского прозвища: «сын Бозара» или «потомок того, кого прозвали Бозар». Фамилия могла возникнуть в среде крещёных татар, башкир или горских народов Кавказа, перешедших в русское сословие.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с осетинским именем Бозр (или Бозур). В осетинской антропонимике известны имена с корнем «боз» — возможно, восходящие к древнеиранскому «bōž» — «спасать», «избавлять». В этом случае фамилия Бозров могла образоваться от осетинского личного имени через добавление русского патронимического суффикса -ов. Такое случалось при интеграции осетин в российскую имперскую систему: фамилии нередко оформляли по русскому образцу.

География фамилии подтверждает кавказско-тюркский след. Бозровы встречаются в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии, Ставропольском крае, а также среди осетин. В центральной России фамилия практически не зафиксирована. Это косвенно указывает на то, что предки носителя фамилии жили в зоне контакта славянских и тюркских культур, на Северном Кавказе или в прикаспийских степях.

Фамилия Бозров не имеет отношения к русским словам «боз» или «бозр» — их в русском языке нет. Не стоит путать её с фамилией Бозаров (от «бозар» — базар, рынок) или Бозов (от «боз» — серый). Окончание -ов указывает на то, что фамилия давно обрусела: её носители, скорее всего, уже несколько поколений говорят по-русски и считают себя русскими, хотя корни уходят в тюркскую или осетинскую среду.