Фамилия Бозрова — женская форма, мужская, соответственно, Бозров. Она почти наверняка тюркского происхождения, и в этом её главная особенность. В русском языке фамилии на -ов/-ев обычно образуются от славянских основ, но здесь основа «бозр» явно не славянская. Скорее всего, в её основе лежит тюркское слово «боз» (серый, сизый, иногда — пустой, бесплодный). В разных тюркских языках «боз» может означать и цвет, и характеристику земли (боз жер — целина, пустошь). Суффикс -р в тюркских языках часто образует прилагательные или существительные, означающие признак или деятеля. Таким образом, «бозр» могло быть прозвищем человека со светлыми, серыми глазами или волосами, либо того, кто жил на пустоши, на целине.

Вторая, менее вероятная версия, связывает фамилию с арабским словом «базр» (зоркость, проницательность), но в русской записи «а» перешло бы в «о» под аканьем, что маловероятно для фамилии, фиксируемой на письме. Поэтому тюркская версия — основная.

Географически фамилия Бозрова редкая и, скорее всего, локализована в регионах с тюркским населением: в Поволжье (Татарстан, Башкирия), на Северном Кавказе (осетины, балкарцы, кумыки) или в среде казахских родов. В русских переписных книгах XVI–XVII веков эта фамилия не встречается — она явно поздняя, оформившаяся уже после вхождения тюркских народов в состав Российской империи, когда прозвища начали массово переделывать в фамилии по русской модели.

С точки зрения словообразования, фамилия прозрачна: корень «бозр» + русский патронимический суффикс -ов. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Бозро́ва. Носительница фамилии может быть потомком человека, которого в тюркской среде прозвали Бозр — «сероглазый» или «живущий на пустоши». По сословной принадлежности предки, вероятно, были государственными крестьянами или казаками, реже — мещанами, так как дворянские роды с такой фамилией не зафиксированы.