Фамилия Брашкина — женская форма фамилии Брашкин, и её происхождение стоит искать в прозвище или нецерковном имени Брашка. В русской ономастике суффикс -ин указывает на принадлежность: Брашкин буквально значит «сын Брашки» или «человек из семьи Брашки». Само слово «брашка» — это уменьшительно-ласкательная форма от «брат» (сравните: братец, браток). В старину «брашкой» могли называть младшего брата, товарища или просто близкого человека, с которым делили трапезу — отсюда же идёт и древнерусское «брашно» (еда, кушанье). Впрочем, связь с едой в данном случае вторична: скорее всего, прозвище Брашка дали либо младшему в семье, либо тому, кто постоянно обращался ко всем «братцем», либо человеку, который жил в братстве или артели.

В отличие от более распространённых фамилий на -ов/-ев, модель на -ин характерна для прозвищ, оканчивающихся на -а/-я. Это указывает на бытовое, неофициальное происхождение: Брашкин — не от названия ремесла или должности, а от внутрисемейного или уличного прозвища. Такие фамилии чаще встречались в северных и центральных губерниях России, где суффикс -ин был особенно типичен для крестьянских и мещанских родов.

Встречается также версия, что Брашкин мог образоваться от названия деревни или речки Брашка (гипотетический топоним), но надёжных подтверждений этому нет. Словарь русских фамилий Б. Унбегауна относит подобные формы к числу патронимических, образованных от личных имён и прозвищ. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, родоначальник был простым человеком, которого в округе знали как Брашку — «брата», «своего парня».

В написании фамилии обратите внимание на редкую буквосочетание «шк»: это не опечатка и не вариант фамилии Брашкин (от «брак»). Брашкин — самостоятельная фамилия с корнем браш-, который не следует путать с брак- или брат-.