Фамилия Браушкина — женская форма, мужская — Браушкин. Это относительно редкая фамилия, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы в ней разобраться, стоит отбросить суффикс -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность («чей?» — сын Браушки). Основа — Браушк-.

Самая вероятная версия связывает фамилию с немецким или еврейским (ашкеназским) корнем. В немецком языке есть слово Brausch или Brausche (разг. «синяк», «шишка», а также «шум», «буря»). Однако более правдоподобно, что в основе лежит фамилия Брауш (Brausch) или её производные. Немецкая фамилия Брауш могла возникнуть как прозвище шумного, бурного человека (от глагола brausen — «шуметь», «бушевать»). В России такие фамилии нередко получали обрусевшие немцы, переселенцы или специалисты, приглашённые в XVIII–XIX веках. Суффикс -к- в русской адаптации (Брауш + к + ин) — типичный способ «обрусения» иноязычной основы, как, например, в фамилиях Шварцкопф → Шварцкопкин, или Фишер → Фишеркин. То есть предка могли звать просто Брауш, а его потомки стали Браушкиными.

Вторая, менее распространённая версия — отчество от прозвища, образованного от диалектного глагола «браушить». В некоторых южнорусских и украинских говорах «браушить» означало «ворчать», «брюзжать» или «говорить невнятно». Если это так, то Браушка — прозвище ворчливого или неразборчиво говорящего человека. Однако эта гипотеза слабее: глагол редкий и плохо зафиксирован в письменных источниках, а немецкий след для фамилии с таким звучанием выглядит убедительнее.

Географически фамилия Браушкина встречается разрозненно, но заметна в Поволжье и некоторых областях Центральной России — регионах, куда в XVIII веке активно переселяли немецких колонистов. Сословно предки могли быть как крестьянами-колонистами, так и мещанами или отставными солдатами. В дворянских родословных книгах фамилия не отмечена.

Итог: скорее всего, ваш предок носил немецкую фамилию Брауш или прозвище Браушка, которое при записи в русские документы получило стандартный суффикс -ин. Искать корни стоит в среде обрусевших немцев или в среде, где немецкое влияние было сильным.