Фамилия Бродкин — наглядный пример того, как в русском именовании уживаются два совершенно разных корня. Чтобы понять её происхождение, нужно смотреть не на внешнюю форму, а на то, какой суффикс стоит в основе.

Первый и самый очевидный вариант — отчество от прозвища или нецерковного имени Бродка. В старину «бродкой» могли назвать человека, который жил у речного брода, перевозил через него людей или славился умением находить мелкие места. Слово «брод» общеславянское, и прозвища от него давали повсеместно. Суффикс -к- в данном случае уменьшительный или пренебрежительный: Бродка — «маленький брод» или «человек, имеющий отношение к броду». Фамилии на -ин образуются именно от основ на -а/-я: Бродка → Бродкин. Это классическая модель: так появились Пушкин (от Пушка), Ильин (от Илья) и сотни других.

Вторая гипотеза, менее распространённая, но имеющая право на существование, — происхождение от названия местечка Броды. На западе Украины и в Белоруссии есть несколько населённых пунктов с таким именем. Выходец из Бродов мог получить прозвище Бродка, а его потомки — фамилию Бродкин. Однако эта версия слабее: обычно переселенцы из городов на -ы образовывали фамилии через суффикс -ский (Бродский), а не через уменьшительное -ка.

Третий, совсем редкий вариант — связь с профессиональным прозвищем Бродяга. В некоторых говорах «бродкой» называли странника, бездомного человека. Но в этом случае фамилия была бы скорее оскорбительной, и вряд ли её давали как постоянное родовое имя.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель -кин от прозвищ на -ка описана как одна из самых продуктивных, особенно в северных и центральных губерниях России. Фамилия Бродкин — не дворянская и не купеческая; её носители, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми, жившими у воды или занимавшимися перевозом. Встречаемость фамилии невысока, что говорит о локальном происхождении — возможно, из одного конкретного села или волости.

Главный вывод: перед вами типичное русское отчество от прозвища, связанного с водой и дорогой. Предок-основатель, скорее всего, был человеком при реке — перевозчиком, рыбаком или просто тем, кто жил «у брода».