Фамилия Будовински звучит по-польски, и это первая и главная зацепка. Типичный суффикс -ски (в польском варианте -ski) указывает на дворянское или шляхетское происхождение. В Польше и на западе Украины такие фамилии образовывались от названия родового поместья или местечка. Если бы фамилия была русской, она скорее выглядела бы как Будовин или Будовинский — без окончания -и.

Основа «Будовин» скорее всего связана с глаголом «budować» — строить. Прозвище Будова или Будовин мог получить плотник, архитектор или крестьянин, которого приписали к строительным работам. В польских говорах «budowina» — это строение, постройка, иногда в ироничном смысле «нескладное сооружение». Значит, предок мог быть строителем, либо владельцем заметной в округе постройки.

Менее вероятная, но возможная версия — топонимическая. В Польше есть несколько мелких населённых пунктов с корнем Budów (например, Будово или Буды). Если поместье называлось Будовины, то его владелец получал фамилию Будовински. Но карты таких названий не сохранили, поэтому версия с прозвищем-профессией выглядит убедительнее.

Фамилия редкая. В современной России и Украине она встречается единично, чаще в варианте Будовинский. Носители могли быть потомками польской шляхты, которую после разделов Речи Посполитой переселили в глубь Российской империи, либо людьми, получившими фамилию при переходе в православие — тогда польское окончание -ski русифицировали.

Интересная деталь: написание через «и» на конце (Будовински, а не Будовинский) выдает человека, либо сохранившего польскую орфографию в эмиграции, либо записанного в советских документах с ошибкой — при переписи населения польские окончания часто урезали. Если ваши предки жили в Западной Беларуси или на Волыни, фамилия почти наверняка польская, а не украинская или русская.