Фамилия Быгаеа — редкий случай, когда написание сразу бросается в глаза необычным финалом. В русской ономастике окончание -еа нехарактерно для исконных фамилий. Скорее всего, перед нами результат адаптации иноязычной фамилии к русскому письму, причём запись могла исказиться при переписи или переходе из другого алфавита.

Если отбросить конечное -а (типичный для русского языка показатель женского рода или адаптированное окончание), основа «Быгае» не имеет очевидных корней ни в славянских, ни в тюркских языках. Можно предположить, что исходная форма была Быгаев или Быгай, а при оформлении документов буква «в» на конце превратилась в «еа» — подобные ошибки встречаются, когда фамилию записывали на слух малограмотные писцы. В таком случае фамилия могла образоваться от прозвища Быгай, которое, в свою очередь, связано с диалектным словом «быгать» — бегать, быстро двигаться, суетиться. Прозвище Быгай могли дать непоседливому, торопливому человеку.

Другая версия отсылает к неславянскому происхождению. Окончание -еа встречается в фамилиях, пришедших из румынского или молдавского языков (ср. Матееску, Георгеа). В этом случае основа «Быг» может восходить к личному имени или топониму. Например, румынское «big» означает «пучок, кисть», но как прозвище это маловероятно. Не исключено, что фамилия имеет гагаузские или болгарские корни, где подобные окончания тоже встречаются.

Третья, более экзотическая гипотеза — связь с фамилией Быгаев, которая документирована у донских казаков и происходит от тюркского слова «буйга» — «смутьян, бунтарь». Если исходно фамилия звучала как Быгаев, а затем в какой-то ветви потеряла конечный «в» и обросла «а» в женском роде (Быгаева), то при неверной записи мужской формы могло появиться Быгаеа.

Поскольку фамилия крайне редкая, точных сведений о её географии и сословной принадлежности нет. Скорее всего, носители живут на юге России, в Молдавии или на Украине. Самое правдоподобное объяснение — Быгаеа это искажённая форма фамилии Быгаев, а предки получили прозвище за резвый нрав или принадлежали к тюркоязычным народам.