Фамилия Быгаевы — редкий случай, где за основой могут стоять как минимум три разных корня: тюркский, славянский и диалектный. Разберём их по порядку, опираясь на словообразовательную модель.

Фамилия образована от личного именования Быгай через стандартный русский патронимический суффикс -ев (форма родительного падежа: «чей?» — Быгаев, то есть сын Быгая). Само прозвище Быгай, скорее всего, восходит к тюркскому имени Бекбай. В переводе с арабского «бекбай» означает «очень богатый» (бек — господин, бай — богач). Это одна из самых правдоподобных версий, учитывая широкое бытование тюркских имен с компонентом «бай» у многих народов Поволжья и Кавказа.

Вторая версия — связь с древним тюркским именем Бугай, то есть «бык». В переносном смысле такое имя давали мальчику с пожеланием вырасти «внушительным, большим», сильным, как бык. Фонетический переход «у» в «ы» (Бугай → Быгай) встречается в диалектах, поэтому эта гипотеза тоже имеет право на существование.

Третья, менее очевидная, но интересная версия — славянская. Она отсылает к глаголу «быгать». Владимир Даль в своём словаре фиксирует это слово со значением «просыхать, сохнуть, чахнуть на ветру; обветриваться, провяливаться». А по словарю Макса Фасмера, «быгать» означает «огибать, обогнуть, закутать». Если прозвище Быгай возникло на русской почве, оно могло характеризовать либо человека сухощавого, «высушенного» ветрами, либо того, кто жил на изгибе реки или дороги (от «огибать»). Однако эта версия уязвима: глагол «быгать» — редкий, диалектный, и маловероятно, что он лёг в основу фамилии, если не подтверждён местной традицией прозвищ.

В документах начала XX века упоминается Быгаев Сергей Александрович (родился в 1962 году в Московской области). Это указывает на то, что фамилия давно обрусела и встречается в центральной России, хотя её исходные корни, скорее всего, ведут на восток или юг.

Итог: фамилия Быгаевы — памятник восточной культуры, но с возможным славянским следом. Самая надёжная версия — от тюркского имени Бекбай («очень богатый»). Версия с «быком» (Бугай) тоже весома. Славянская гипотеза (от «быгать») — самая слабая из трёх, и без дополнительных генеалогических изысканий опираться на неё не стоит.