Фамилия Быгаев — редкий пример, где за одной основой могут стоять совершенно разные истории, и ни одну из них нельзя отбросить с ходу. В центре — именование Быгай, от которого фамилия образована с помощью стандартного русского суффикса принадлежности -ев (чей? → Быгаев).

Самый прямой путь ведёт в тюркскую ономастику. Быгай могло быть упрощённой формой имени Бекбай: «бек» (князь, господин) + «бай» (богач). В арабском контексте это имя осмысляли как «очень богатый». Однако в степной среде звучание легко редуцировалось: Бекбай → Быкбай → Быгай. Вторая версия того же круга — связь с именем Бугай, которое в тюркских языках означает «бык», а в переносном смысле — «внушительный, крупный человек». Оба варианта правдоподобны: фамилия Быгаев встречается у башкир, татар и в смешанных русско-тюркских регионах Поволжья.

Но есть и славянский след, который не стоит сбрасывать со счетов. В русских говорах существовал глагол «быгать». Владимир Даль фиксирует его значение: «просыхать, сохнуть, чахнуть на ветру; обветриваться, провяливаться». Человек, получивший прозвище Быгай, мог быть сухощавым, долговязым или, наоборот, работать на открытом воздухе, где «быгает» товар или сам человек. Фасмер добавляет другой оттенок: «огибать, обогнуть, закутать». Если прозвище пошло от этого корня, Быгаем могли назвать того, кто живёт на излучине реки, на «обходном» пути, или даже мастера, который что-то огибал, обвязывал.

Выбрать одну версию сложно из-за географии фамилии. В документах начала XX века фиксируется, например, Быгаев Сергей Александрович (родился в 1962 году в Московской области). Московская область — зона активного смешения: сюда переселялись и татары, и выходцы из северных и южных губерний. Поэтому у носителя с русским именем и отчеством может быть как тюркский предок, так и русский, носивший прозвище от диалектного глагола.

Фамилия не получила широкого распространения, не стала дворянской или купеческой — это редкая фамилия, которая сохранилась в виде островков в Центральной России, Башкортостане и Татарстане. Её уникальность как раз в том, что она заставляет задуматься: а в какой именно среде — тюркской или славянской — впервые назвали человека Быгаем.